Felix Weltsch wurde am 6. Oktober 1884 in Prag geboren; er war das erste von vier Kindern des Tuchhändlers Heinrich Weltsch und seiner Frau Louise. Nach dem Besuch der Volksschule des Piaristenordens, wo er mit Max Brod Freundschaft schloss, wechselte Weltsch zum Altstädter Gymnasium, wo er die Klasse unter Kafkas Jahrgang besuchte.
Nach der Matura nahm Weltsch ein Jura-Studium an der Prager Karls-Universität auf und trat in die ›Lese- und Redehalle der deutschen Studenten‹ ein. Kafka lernte er vermutlich 1903 über ihren gemeinsamen Freund Max Brod kennen. Es entwickelte sich eine lebenslange Freundschaft, trotz der zunehmenden intellektuellen Entfernung: Während Kafka sich immer stärker der Literatur zuwandte, blieb Weltsch seinen philosophischen Interessen treu.
In späteren Jahren verband beide auch das gemeinsame Interesse an Fragen des Zionismus und der jüdischen Tradition. So wurde Kafka auch in die Familie des Rechtsanwalts Theodor Weltsch eingeführt, eines Onkels von Felix Weltsch, der in der Prager zionistischen Szene eine bedeutende Rolle spielte.
Felix Weltsch schloss sein Jura-Studium 1907 mit der Promotion ab; nach der obligatorischen Gerichts- und Advokaturspraxis begann er 1909 als Praktikant bei der National- und Universitätsbibliothek Prag, bei der er bis zu seiner Emigration 1939 beschäftigt blieb. Im November 1911 erwarb Weltsch an der Karls-Universität zusätzlich einen philosophischen Doktorgrad; er veröffentlichte Arbeiten zu (religions-)philosophischen Fragen (auch gemeinsam mit Max Brod) und hielt in Prag Vortragszyklen zu literaturwissenschaftlichen Themen. Im August 1914 heiratete er Irma Herz (1892–1969), mit der er, trotz tiefer Spannungen, bis zu seinem Tod beisammen blieb.
Neben seiner Tätigkeit in der Bibliothek leitete er zwischen Herbst 1919 und 1938 die Redaktion der jüdischen Wochenschrift Selbstwehr, deren Leser und Abonnent Kafka bis zu seinem Tod war. Am Tag des Einmarsches deutscher Truppen in Prag emigrierten Felix und Irma Weltsch mit ihrer Tochter Ruth (1920–1991) nach Palästina. Die Familie ließ sich in Jerusalem nieder, wo Weltsch eine Anstellung an der National- und Universitätsbibliothek in Jerusalem erhielt. Er veröffentlichte weitere Arbeiten zu allgemeinen philosophischen Themen sowie über Kafka und dessen Werk. Felix Weltsch starb am 9. November 1964.